Veselin se je rodil leta 1961 v Cetinjah v Črni gori. Pri 16-ih letih je pričel z igralsko kariero v klubu Lovčen. Kasneje se je pridružil klubu Metaloplastika, nato Barceloni ter leta 1993 klubu Granolles. Njegovi igralski dosežki so izjemni – med drugim je osvojil zlato na Olimpijskih igrah leta 1984, štiri leta kasneje srebro, na Svetovnem prvenstvu je leta 1982 prejel srebrno medaljo ter štiri leta kasneje tudi zlato. Metaloplastiki je skupaj z ekipo dve leti zapored prinesel naslov evropskega klubskega prvaka. Leta 1988 so s klubom Barcelona postali zmagovalci pokala IHF, kjer je bil s strani IHF imenovan za najboljšega igralca na svetu.
Od leta 1997 je Veselin Vujović v vlogi trenerja. Bil je trener uspešnih rokometnih klubov kot so Lovčen, Partizan, Ciudad Real v Španiji, moške reprezentance Srbije in Črne gore, kluba Vardar v Makedoniji, Al Saad v Katarju in kluba v Zagrebu. Leta 2014 je postal trener moške članske reprezentance Slovenije. Pod njegovo taktirko so rokometni klubi dosegali izvrstne rezultate: RK Zagreb je postal zmagovalec Hrvaškega pokala ter prvak Hrvaške, Al Sadd zmagovalec pokala, RK Vardar trikratni prvak Makedonije in trikratni pokalni prvak Makedonije, Ciudad Real zmagovalec Španskega pokala in zmagovalec EHF pokala pokalnih zmagovalcev, RK Lovčen prvak Srbije in Črne gore, RK Partizan prvak Srbije in Črne gore. Skupaj s člansko reprezentanco Srbije in Črne gore je dosegel 9. mesto na EP 2006, 5. mesto na SP 2005 ter 4. mesto na OI 2000. Člansko reprezentanco Slovenije je na OI 2016 popeljal do 6. mesta.
Neverjeten uspeh je doživel na letošnjem svetovnem prvenstvu v Franciji. Športni as je skupaj s člansko reprezentanco Slovenije osvojil 3. mesto.